松本市その１ - 東北の関西人

　最近、友達とどうでもいい数学の話で盛り上がりました。一般に人生の折り返しは20歳くらいと言われており、かつ ${\LARGE n}$ 歳の体感時間は、０〜１歳の1年の ${\LARGE \frac{1}{n}}$ という事の考察から始まりました。つまり、人生の体感時間は、その年その年の体感時間の和なので、ここで人生の感じた時間を $\LARGE y$ とすると、人生80年と仮定すると $\LARGE y$ は、

${\LARGE y=\sum_{n=1}^{80}\frac{1}{n}=4.96547979...}$

つまり、 $\LARGE y$ の半分の値、 $\LARGE 2.482739895...$ となる $\LARGE n$ が人生の折り返しです。

ここで、試行錯誤で $\LARGE n$ の値を求めたのですが、結果 $\LARGE n=5$ の時、

${\LARGE y=\sum_{n=1}^{5}\frac{1}{n}=2.34444397...}$ つまり、この計算式だと人生の折り返しは5歳少し過ぎとなってしまい、あまりに人生としては空しすぎたので、体感時間の仮定を考え直しました。すると友達の1人が、人の ${\LARGE n$ 歳の体感時間は、

${\LARGE y=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}$

と聞いたことがあると言ってくれました。正しいかはわかりませんがこの式で考えると、

0〜1歳の1年の体感時間を１とすると、１〜２歳は ${\LARGE y=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}}$ 、２〜３歳は ${\LARGE y=\frac{1}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{6}{11}$ と、先ほどの仮定に比べると、年に対する体感時間の減少速度が鈍くなっています。

つまり、80歳まで生きる場合の体感時間を $\LARGE y$ とすると、

${\LARGE y=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}+\frac{1}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}+...$

つまり、

$\LARGE y=\sum_{n=1}^{80}{\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

で表されます。

ここで問題だったのが、友達とこの問題について考えていた時、手元には関数電卓しかありませんでした。つまり、 $\large \sum$ の計算は出来るのですが、 $\large \sum$ で括られた中にある $\large \sum$ 、つまり二重の $\large \sum$ 計算は普通の関数電卓ではERRORと出て計算できません。

ここで高校数学は便利ですよね（笑）。

${\large y=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ の ${\LARGE k$ を、 $\Large x$ と置き換えてこれを連続関数とみなすと、近似の誤差を考慮して

$\LARGE y\approx\int_{0}^{n}\frac{1}{x+\frac{1}{2}}dx=\log(n+\frac{1}{2})$ 　　と表せます。

ちなみにこの $\Large\frac{1}{2}$ の意味は上のグラフから分ります。 $\Large y$ は、 $\Large \frac{1}{n+\frac{1}{2}}$ の $\Large 0$ 〜 $\Large n$ の黄色の面積の事なので、大体 $\Large \frac{1}{x+\frac{1}{2}}$ の $\Large 0$ 〜 $\Large n$ の区間の面積とほぼ等しいと言えます。